• Polygones

Mathématiques, Géométrie, polygones réguliers :
Comment tracer les polygones réguliers non constructibles ?
Et si on les traçait quand-même à la règle et au compas ?

En principe, les polygones réguliers ne peuvent être construits au compas que pour des nombres de 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15 cotés etc. ( Voir la théorie disponible partout sur le web ) .
On dit alors de ces polygones qu’ils sont « constructibles »
Mais chaque polygone nécessite une méthode de construction bien différente en fonction des nombres de cotés…  A l’inverse, les polygones à 7, 9, 11, 13, 14 cotés etc. « ne seraient pas » constructibles !

Gros problème pour le bricoleur qui justement voudrait obtenir une forme polygonale à 13, 14, 19 cotés, voire plus, avec une précision suffisante… Et bien rassurez-vous, VOUS POUVEZ LE FAIRE…
et, cerise sur le gâteau, avec une méthode unique, quel que soit le nombre de cotés !

Bizarre... la théorie affirme pourtant le contraire, et je n’ai trouvé cette information sur aucun site !
j’ai donc décidé de vous faire partager cette méthode que j’utilise depuis de nombreuses années ; je ne me souviens plus exactement de son origine, je pense que j’avais trouvé ça dans un livre de géométrie datant du début du siècle dernier…

Un seul mot d’ordre : Précision ! utiliser du bon matériel, principalement un compas de bonne qualité et bien affûté ! Il s’agit en principe d’une méthode « approximative »… mais en réalité la précision dépend surtout de vous… n’oubliez pas que si vous obtenez une erreur de 15/100 de mm, l’erreur reportée sera de n fois 0.15 soit, ( sur un polygone à 13 cotés ) , un peu moins de 2mm !!! Inutile de le dire, vous pouvez augmenter la précision, en reportant quelques cotés dans le sens horlogique puis les derniers dans l’autre sens… ( dans cet exemple, pour 13 cotés, 7 dans un sens, 6 dans l’autre… )

Voici le tracé d’un polygone à 13 cotés, d'autres exemples sont tracés dans le fichier PDF en fin d'article. Des lettres vont faciliter la description de la méthode. C’est finalement assez simple à comprendre si vous suivez les explications sur le dessin…

Reliez ensuite ( avec précision ) le dernier point D vers le point B, qui doit être tangent au cercle et aboutir à l’intersection de B avec le diamètre . Ce trait D – B va permettre de diviser proportionnellement le diamètre en 13 parties égales, mais seul le deuxième point « E » sera utilisé .

A ce niveau de la construction, vous pourriez utiliser une équerre à parallèles pour tracer toutes les droites parallèles à D – B, mais c’est sans doute plus rapide et surtout plus précis de déterminer uniquement le point « F » au compas comme ci-dessous :
Avec une ouverture de compas de longueur D-B, tracer un arc de centre E .
Avec une ouverture de compas de longueur D-E, tracer un arc de centre B.
Le point « F » est déterminé par l’intersection de ces deux arcs de cercles
La droite passant par les points E et F donne le point X sur le diamètre A - B .

La droite servant à trouver la position de X passera toujours par le deuxième point « E » sur la droite A – D pour rejoindre le point F, quel que soit le nombre de cotés à obtenir .

La droite tracée à partir de C et passant par X détermine la position du point Y sur le cercle.
Le segment A-Y est le coté du polygone recherché - à reporter au compas sur la circonférence.

Si vous avez êtes précis, vous devriez obtenir 13 cotés identiques et une erreur de 2mm environ .
Si vous voulez plus de précision, vous pourriez mesurer l’erreur obtenue, la diviser par le nombre de coté, puis rectifier l’ouverture du compas pour tenter de tracer un segment plus précis… mais ce n’est pas évident de corriger de quelques dixièmes de mm… donc, le mieux serait sans doute de tracer un grand cercle servant aux constructions, puis de tracer le plus petit cercle à partir du même centre « O », et de reporter sur ce petit cercle chaque sommet du polygone en traçant les lignes convergeant vers ce centre…

Cet article est publié sur mon site http://www.on4nb.be/polygones avec quelques exemples supplémentaires.

Alors, à vos compas… vos commentaires sont les bienvenus via !

Téléchargez l'article et des exemples supplémentaires en format PDF afin d'utiliser le zoom sur les tracés : polygones.pdf